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    第2章 單 元

    2.1 單元插值和形函數

    插值就是構造一個在有限點能滿足規定條件的連續函數。在有限元分析中,這些點是一個單元的節點,規定條件是一個場量的節點值(也可能是它的導數)。節點值很少是精確的,即使它們是足夠精確的,插值法在其他位置給出的通常也會是近似值。在有限元分析中,插值函數幾乎總是一個能自動提供單值連續場的多項式。

    對于一維問題,根據廣義自由度ai、一個含有因變量?和自變量x的插值多項式可以寫成下列形式:

    ???X??a? (2-1)

    式中,?X??1,x,x2,...,xn;?a???a1,a2,...,an?。

    線性插值時n?1, 二次插值時n?2,依次類推。ai可以根據在已知的x值處?的節點值來表示。節點值??e?和ai之間的關系可以用符號表示為

    ??e???A??a? (2-2)

    式中,?A?的每一行都是?X?在相應的節點位置的計算值。

    由式(2-1)和式(2-2),可得

    ?????N???e? (2-3)

    式中,?N???X??A??1??N1,N2,...,Nn?。

    矩陣?N?中的每一個Ni被稱為單元形函數。在有限元計算中,形函數矩陣把單元節點值同單元場函數聯系起來。根據插值函數的階數,可以把ANSYS中的結構單元分為低階單元(單元采用一次插值)和高階單元(單元采用二次或更高階次插值)。對于二維和三維單元, 將需要兩個或三個空間自變量,但計算的原理和一維單元是一樣的。

    2.2 常用單元介紹 2.2.1 結構單元

    1. MASS 21

    圖2-1 所示為MASS 21單元幾何圖。MASS 21是一個具有6個自由度的單節點質量單元,即X、Y和Z方向的平動和繞X、Y和Z軸的轉動。每個方向可以具有不同的質量和轉動慣量。

    MASS 21單元在靜態解中無任何效應,除非具有加速度、旋轉載荷或慣性解除,該單元支持大變形、單元生死和線性攝動分析功能。

    圖2-2所示為“MASS 21 element type options(單元關鍵字設置)”對話框。MASS21單元包括K1,K2和K3關鍵字。下面將做詳細講解。

    圖2-1 MASS 21單元幾何圖

    圖2-2 MASS 21 單元關鍵字設置對話框

    (1)K1關鍵字

    MASS 21單元K1關鍵字用來定義單元實常數的種類。它包括兩種定義實常數方式:質量-轉動慣量(Masses-Inertias)和體積-密度(Volumes-Density),其中質量-轉動慣量方式為ANSYS默認選項。如果用戶設置定義實常數為體積-密度,則必須在材料模型中定義其密度。

    (2)K2關鍵字

    MASS 21單元K2關鍵字用來定義單元初始坐標系。它包括兩種單元初始坐標系:平行于總體坐標系(Parall to global)和平行于節點坐標系(Parall to nodal sys),其中平行于總體坐標系為ANSYS默認選項。

    (3)K3關鍵字

    MASS 21單元K3關鍵字用來設置單元的轉動慣量。它包括4種轉動慣量:考慮轉動慣量的三維質量單元(3-D w rot inert),不考慮轉動慣量的三維質量單元(3-D w/o rot inert),考慮轉動慣量的二維質量單元(2-D w rot inert)和不考慮轉動慣量的二維質量單元(2-D w/o rot inert)。 2. LINK 11

    LINK 11用于模擬液壓缸和其他經歷大變形的應用的結構桿單元。如圖2-3所示,LINK 11單元由兩個節點組成,每個節點具有X、 Y和Z方向的平動自由度。該單元支持應力剛化、大變形和單元生死分析,但不能考慮彎曲和扭動載荷且沒有單元關鍵字。該單元具有單元阻尼功能,即可以在材料模型中定義DAMP。單元的初始長度L0和方向是從節點位置定義的。

    LINK 11可以輸入3個實常數。圖2-4所示為“Real Constant Set Number 1, for LINK11(Link 11單元實常數輸入)”對話框。在該對話框中包括3個實常數:剛度(K),單位為Nm;粘性阻尼系數(C),單位為N?mt;質量(M),單位為N?mt2。從圖2-4可知,質量在LINK 11單元的兩個節點平均分布,因此該單元只能使用集中質量矩陣。

    圖2-3 LINK11單位幾何圖

    圖2-4 “Link 11單元實常數輸入”對話框

    3. LINK 180

    LINK 180是三維有限應變桿單元,在工程中有著廣泛的應用,可以用來模擬桁架、纜索、連桿和彈簧等。如圖2-5所示,LINK 180單元由兩個節點組成,每個節點具有沿著節點坐標系的平動自由度。該單元為一階插值單元,因此在桿上具有相同的應變和應力。如同鉸結構一樣,該單元不能承受彎矩,但支持彈塑性、粘彈性、粘塑性、蠕變、應力剛化、大變形、大應變、單元生死、線性攝動和非線性穩定性功能。

    圖2-5 LINK180單位幾何圖

    如圖2-5所示,LINK 180單元坐標系只有x 軸,在一個單元長度上X軸的方向由單元I節點指向J節點。溫度可以作為單元在節點處的體載荷來輸入。節點I處的溫度T(I)默認值為TUNIF,節點J處的默認溫度值為T(I)。LINK 180單元允許把截面積定義為軸向伸長率的函數。默認狀態下,單元的截面積改變而體積保持不變,即使變形后也是如此。默認值適合于彈塑性分析。通過設置實常數來實現僅考慮壓縮或拉伸,也可以兩者都考慮。

    圖2-6所示為“LINK 180 element type options(LINK 180單元關鍵字設置)”對話框。LINK 180單元只有K2—個單元關鍵字。LINK 180單元K2關鍵字用來定義單元橫截面比例。它包括兩種定義方式:默認選項為執行不可壓縮性,軸向拉伸功能通過截面積依比例決定(Func of Stretch);假定截面為剛性(Rigid(classic))。

    圖2-6 LINK 180 單元關鍵字設置對話框

    圖2-7所示為“Real Constant Set Number 1,for LINK 180(LINK180單元實常數輸入)”對話框。該對話框中包括兩個控制輸入選項:在AREA中輸入橫截面積和在ADDMAS中輸入附加質量,單位為kgm。ANSYS 14.0中GUI暫不支持定義LINK180壓縮和拉伸功能。只有通過命令流定義,其定義方式有“R,1,AREA,ADDMAS,TENSKEY”。上述命令中“1”表示實常數號,“TENSKEY”是用來定義LINK 180 單元的壓縮和拉伸功能。當“TENSKEY =0”時,表示同時考慮拉伸和壓縮(默認選項);當“TENSKEY =1”時,表示僅考慮拉伸;當“TENSKEY =-1”時,表示僅考慮壓縮。

    圖2-7 “Link 180單元實常數輸入”對話框

    4. PLANE 182

    PLANE 182用于二維實體結構建模。PLANE 182單元既可作為平面單元,也可作為軸對稱單元。PLANE 182單元位移插值為一階函數,因此單元具有常應變特性。圖2-8所示為PLANE 182單元幾何圖,該單元有4個節點,每個節點有2個自由度,分別為節點X和Y方向的平移。PLANE 182單元支持塑性、超彈性、粘彈性、粘塑性、彈性、應力剛化、大變形、大應變、初始應力、非線性穩定性、人工重畫網格、自動選擇單元和單元生死功能。

    圖2-8 PLANE 182單元幾何圖

    圖2-9所示為,“PLANE 182 element type options(PLANE 182單元關鍵字設置)”對話框。PLANE 182單元包括K1、 K3和K6關鍵字。下面做詳細講解。

    圖2-9 “PLANE 182單元關鍵字設置”對話框

    (1) K1關鍵字

    K1關鍵字用來設置PLANE182單元技術。用戶可以選擇4種單元技術:①使用B方法的完全積分(Full Integration),該選項為ANSYS默認選項;②帶沙漏控制的均勻縮減積分算法(Reduced Integration),選擇該選項后用戶需要在單元實常數中定義沙漏剛度系數(HGSTF),程序默認值為1,如果用戶輸入0,則程序按照默認值處理;③增強的應變公式(Enhanced Strain);④簡化的增強應變公式(Simple Enhanced Strn)。 (2)K3關鍵字

    K3關鍵字用來設置PLANE 182單元特性。用戶可以選擇5種單元特性:不考慮厚度的平面應力(Plane Stress),這是ANSYS的默認選項;軸對稱(Axisymmetric);平面應變(Plane Strain);考慮厚度的平面應力(Plane Strs w/thk);廣義的平面應變(Genrl plane strn)。 (3)K6關鍵字

    K6關鍵字用來設置PLANE 182單元公式。用戶可以選擇兩種單元特性:純位移公式(Pure displacement),這是ANSYS的默認選項;位移/力混合公式(Mixed U/P),該選項不能應用于





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